“Per vincere una maratona bisogna allenarsi.”
“Non è vero. Io mi alleno da anni e non ho mai vinto.”
Una conversazione del genere potrebbe andare avanti per tutta la cena. Qualcuno citerebbe un campione, qualcun altro un amico che corre ogni mattina. Prima del dolce avremmo una teoria sul talento e qualche tensione fra commensali.
Eppure la risposta di chi si allena da anni non smentisce ciò che è stato detto.
La prima persona ha affermato che, per vincere, allenarsi è indispensabile. La seconda ha risposto che allenarsi non lo garantisce. Possono avere ragione entrambe.
È lo scambio fra una condizione necessaria e una sufficiente: una distinzione che a scuola incontriamo in matematica e poi, curiosamente, lasciamo lì. Invece sarebbe utile portarle anche a cena.
Necessario: senza, non si può
Per vincere una maratona devi arrivare al traguardo.
Arrivarci è una condizione necessaria: se non completi la gara, non puoi vincerla. Ma il traguardo lo attraversano anche migliaia di persone che non hanno vinto.
Una condizione necessaria funziona così: la sua assenza esclude il risultato; la sua presenza non lo assicura.
Nella lingua quotidiana la riconosciamo in espressioni come “bisogna”, “occorre”, “non puoi senza”. Stiamo indicando qualcosa che non può mancare.
Il punto delicato arriva quando trasformiamo un requisito in una promessa.
“Per vincere devi arrivare al traguardo” non significa “arriva al traguardo e vincerai”. Sulla maratona nessuno si confonde. Sostituisci il traguardo con lo studio, la perseveranza o una buona idea, e la confusione diventa molto più facile.
Sufficiente: con questo, basta
Immaginiamo un esame con una sola regola: si è promossi ottenendo almeno 18 punti su 30.
Prendere 25 è una condizione sufficiente per passare: quel punteggio basta a garantire la promozione. Non è però necessario prendere proprio 25. Si passa anche con 18, 22 o 30.
Una condizione sufficiente funziona dunque così: la sua presenza assicura il risultato; la sua assenza non lo esclude.
Se sai che una persona ha preso 25, sai che è promossa. Se sai soltanto che è promossa, non puoi ricostruire il voto.
Le due parole descrivono quindi rapporti diversi:
Necessario: senza quella condizione, il risultato è impossibile.
Sufficiente: con quella condizione, il risultato è garantito.
Una condizione può anche essere entrambe le cose. Nel nostro esame, ottenere almeno 18 punti è necessario e sufficiente per passare: sotto quella soglia si è bocciati, da quella soglia in su si è promossi.
È il significato dell’espressione “se e solo se”. Serve a chiudere entrambe le porte: nessuna promozione senza il requisito, nessun requisito soddisfatto senza la promozione.
Perché non possiamo invertire la frase
“Tutti i quadrati sono rettangoli.”
Vero: un quadrato è un rettangolo con tutti i lati uguali. Ma da questo non segue che tutti i rettangoli siano quadrati.
Essere un quadrato basta per essere un rettangolo. Essere un rettangolo non basta per essere un quadrato.
Lo stesso errore, fuori dalla geometria, è più difficile da riconoscere.
“Chi ha studiato bene sa rispondere. Luca sa rispondere, quindi ha studiato bene.”
Anche concedendo la prima affermazione, la conclusione non è garantita: Luca potrebbe conoscere già l’argomento oppure aver indovinato.
Abbiamo percorso il ragionamento al contrario, come se un’implicazione valesse automaticamente in entrambi i versi. In logica questo errore si chiama affermazione del conseguente.
Controesempi
Torniamo alla conversazione iniziale.
Per smentire “senza allenamento non si vince”, dovremmo trovare qualcuno che abbia vinto senza allenarsi.
Per smentire “allenarsi garantisce la vittoria”, basta invece qualcuno che si sia allenato senza vincere.
La persona che si allena da anni senza aver mai vinto contesta dunque la seconda affermazione. Ma il suo interlocutore aveva sostenuto la prima.
Un controesempio deve colpire ciò che è stato sostenuto. Una storia può essere vera e, tuttavia, non smentire affatto la tesi di cui si discute.
Quando gli ingredienti devono esserci tutti
A volte il problema è che cerchiamo una singola cosa capace di fare il lavoro di un insieme.
Immaginiamo un concorso con tre requisiti obbligatori per essere ammessi: avere un certo titolo, presentare la domanda entro la scadenza e allegare un documento.
Ogni requisito è necessario. Nessuno, da solo, è sufficiente. Se il regolamento non prevede altre condizioni, i tre insieme bastano per l’ammissione.
Chi ha il titolo ma presenta tardi la domanda non viene ammesso. Questo non dimostra che il titolo fosse inutile: dimostra che mancava un altro requisito.
Attenzione, poi, al risultato: essere ammessi al concorso non equivale a vincerlo. Una condizione può bastare per raggiungere una tappa e non bastare affatto per quella successiva.
Serve, basta, oppure aiuta
Resta un terzo caso, molto frequente nelle discussioni.
Partire mezz’ora prima per arrivare puntuali a un appuntamento. Necessario non è: capita di uscire all’ultimo minuto e trovare la strada libera. Sufficiente nemmeno: basta un incidente in tangenziale. Eppure nessuno direbbe che partire prima sia inutile.
Molte delle cose su cui discutiamo stanno qui. Non sono indispensabili e non garantiscono niente: rendono il risultato più probabile.
Torniamo alla cena. “Mi alleno da anni e non ho mai vinto” resta un fatto. Ma non dimostra che allenarsi sia inutile, né che si possa vincere senza farlo. Dimostra soltanto che allenarsi non basta.
“E allora perché continui a correre?”
“Perché se smettessi avrei ancora meno possibilità.”
Sul fatto che allenarsi aiuti, a quanto pare, erano d’accordo fin dall’inizio.
La cosa da ricordare 💡
Una condizione necessaria non può mancare, ma può non bastare.
Una condizione sufficiente basta, ma può non essere indispensabile.
Se una condizione è entrambe le cose, il risultato si verifica se e solo se essa è soddisfatta.
Inoltre, non garantire un risultato non significa essere inutile: qualcosa può favorirlo senza essere necessario né sufficiente. Per discutere meglio, distinguiamo ciò che serve, ciò che basta e ciò che aiuta.
Alla prossima.
Giovanbattista
